2-stündig: Do, 12:50-14:35, B414

Es handelt sich um eine Fortsetzung der Vorlesung "Elementare Grundlagen der Finanzmathematik I" vom WS 01/02. Der dort aufgestellte Modellrahmen des Markowitz-Modells zur Portfolio-Optimierung wird nun als reines quadratisches Optimierungsproblem betrachtet und detailliert gelöst. Insbesondere wird dabei gezeigt, inwiefern die Kovarianzmatrix eine geometrische Struktur erzeugt (Orthogonalität mittels eines "gewichteten" Skalarprodukts in einem endlichdimensionalen Vektorraum), die ein wesentliches Element zur Konstruktion effizienter Portfolios ist.

Unter Einbezug eines risikolosen Finanzinstruments (Bonds), erhalten wir danach eine verallgemeinerte Version des Markowitzmodells, durch dessen ausführliche Herleitung die StudentInnen direkt an das sehr wichtige Capital Asset Pricing Model (CAPM) herangeführt werden und dabei den fundamentalen Begriff des "Market Price of Risk" kennenlernen.

Grundlagen der Mathematik (Funktionenbegriff, Mengenschreibweise, logisches Schließen), Analysis (Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Variablen), elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung (Wahrscheinlichkeitsbegriff, Erwartungswert, Varianz, Korrelation, Verteilungsfunktion, Binomial-, Poisson- und Normalverteilung, Dichte), lineare Algebra (lineare Abbildungen, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Normen)

Das Markowitz-Modell I (Lösung des quadratischen Optimierungsproblems)

• Positive Definitheit und damit verbundene geometrische Struktur der Kovarianzmatrix, Existenz von Lösungen
• Optimierung unter Nebenbedingungen, Lagrangesche Multiplikatorenregel
• Charakterisierung des Minimalvarianzportfolios und der Effizienzportfolio-Geraden
• Der Satz von Markowitz für ausschliesslich risikobehaftete Finanzgüter
• Parametrische Darstellung der Effizienzgrenze

Das Markowitz-Modell II (risikobehaftete Finanzgüter und ein Bond)

• Formulierung des Modellansatzes
• Formulierung des Markowitz-II-Modells als quadratisches Optimierungsproblem
• Positive Semidefinitheit der Kovarianzmatrix als schwächeres Kriterium und die damit verbundene Problematik
• Einführung in die Grundlagen der konvexen Analysis (Charakterisierung konvexer Funktionen mehrerer Variablen, Jensensche Ungleichung, Kuhn-Tucker-Theorem)
• Die Kapitalmarktlinie und der Satz von Markowitz für Finanzgüter, die ein risikofreies Asset enthalten

Das Kapitalgut-Bewertungsmodell (Capital Asset Pricing Model (CAPM))

• Effiziente Portfolios, Einzelrenditen und ihre Korrelation zur Gesamtrendite
• Charakterisierung effizienter Portfolios mittels Korrelationen und Marktpreis des Risikos (Market Price of Risk)
• Formulierung des CAPMs als Gleichgewichtsmodell
• Beweis der CAPM-Aussage
• Der Begriff der Risikoprämie, Beta-Koeffizienten und Interpretationen des CAPMs

Ergänzende Literatur
1. D. G. Luenberger: Investment Science. Oxford University Press. 1998
2. H. H. Panjer, editor; P. P. Boyle et al.: Financial Economics. The Actuarial Foundation. 1998
3. P. Steiner, H. Uhlir: Wertpapieranalyse, 4. Auflage. Physica-Verlag Heidelberg. 2001