3-stündig: Mo, 13:50-16:35, B532

Es handelt sich um eine Fortsetzung der Vorlesung"Stetige Modelle in der stochastischen Finanzmathematik I", die im WS 01/02 gehalten wurde. Nachdem die wichtigsten Hilsmittel der stochastischen Analysis zur Verfügung stehen, wird nun direkt die Bewertung (Pricing) und die Absicherung (Hedging) von derivativen Finanzinstrumenten untersucht. Dabei werden die StudentInnen mittels des zentralen Begriffes der stochastischen Differentialgleichung und des Martingals bereits an die neuesten Ansätze und Werkzeuge herangeführt (wie sie z. B. in der Zinsstrukturmodellierung oder der Kreditrisikomodellierung) verwendet werden.

Besuch der Vorlesung "Stetige Modelle in der stochastischen Finanzmathematik I" und Grundkenntnisse der zeitdiskreten Modelle in der stochastischen Finanzmathematik

Das Itô-Kalkül

• Erinnerung an die klassische Kettenregel der Analysis und an die Taylorreihenentwicklung
• Das Itô-Kalkül (einfache und erweiterte Versionen der Itô-Formel) und seine Anwendung

Stochastische Differentialgleichungen

• Erinnerung an deterministische Differentialgleichungen
• Einführung in stochastische Differentialgleichungen (SDGLs) und Diffusionsprozesse
• Lösung von SDGLs mittels des Itô-Lemmas (Geometrische Brownsche Bewegung, Ornstein-Uhlenbeck-Prozess)
• Allgemeine lineare SDGL (demonstriert am Beispiel des Zinsstrukturmodells von Vasicek)
• Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen (Eulersche Approximation und Milstein Approximation)

Anwendungen der stochastischen Analysis auf Finanzmarktmodellierung und Optionsbewertung

• Das Optionsbewertungsmodell von Black-Scholes (Finanzinstrumente, Ertrag, Bond, Aktie, selbsfinanzierende Portfoliostrategie, Leerverkauf, Optionen, Hedging, Optionsbewertungsproblem)
• Die Formel von Black und Scholes
• Äquivalente Martingalmaße und Maßwechsel (Satz von Girsanov), stochastisches Exponential und Marktpreis des Risikos
• Interpretation der Black-Scholes-Formel, Delta-Hedging und Replikation von Optionen, "Greeks", vollständige Finanzmärkte

Einführung in die Zinsstrukturmodelle

• Fristenstruktur der Zinssätze und Ertragskurve (term structure, yield curve)
• Zero-Coupon-Bonds und Forward Rates
• Zinsstrukturmodelle (Vasicek~, Cox-Ingersoll-Ross ~, erweitertes Vasicek~, Hull-White~, Ho-Lee~)

Ausblick auf aktuelle und zukünftige Fragestellungen

• Finanzgutmodelle mit Sprüngen, stochastische Volatilität, unvollständige Finanzmärkte, Kreditrisiko-Modelle, Merton-Modell, Realoptionen
• Erweiterung des Martingalbegriffes (vom Martingal zum Semimartingal)

Ergänzende Literatur
1. M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus (An Introduction to Derivative Pricing). Cambridge University Press. 1996
2. N. H. Bingham, R. Kiesel: Risk-Neutral Valuation (Pricing and Hedging of Financial Derivatives). Springer Finance. 1998
3. R. J. Elliott, P. E. Kopp: Mathematics of Financial Markets. Springer Finance. 1999
4. W. Hackenbroch: Integrationstheorie. Teubner 1987
5. A. Irle: Finanzmathematik - Die Bewertung von Derivaten. Teubner 1998
6. R. und E. Korn: Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung. Moderne Methoden der Finanzmathematik. Gabler-Vieweg 1999.
7. D. Lamberton, B. Lapeyre: Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman & Hall. 1996
8. T. Mikosch: Elementary Stochastic Calculus with Finance in View. World Scientific. 1998
9. M. Musiela, M. Rutkowski: Martingale Methods in Financial Modelling. Springer. 1997
10. L. T. Nielsen: Pricing and Hedging of Derivative Securities. Oxford University Press. 1999
11. K. Schürger: Wahrscheinlichkeitstheorie. Oldenbourg. 1998
12. D. Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press. 1993