4-stündig: Mo, 09:50-11:25, H444 und Do, 09:50-11:25, H444

Es handelt sich um eine Einführung in die Methoden und Werkzeuge der stochastischen Analysis, die erforderlich sind, um die gängigen Finanzmarktmodelle verstehen und anwenden zu können, die in der Banken- und Versicherungspraxis im Risikomanagement und im Handel alltäglich eingesetzt werden. Anhand einer von Beginn an durchgehenden Betrachtung konkreter Fallbeispiele aus der Praxis, werden die StudentInnen direkt an die stochastisch-analytische Modellierung herangeführt. Besonderes Gewicht wird dabei auf die Bereitstellung der wichtigsten Hilfsmittel aus der stochastischen Analysis gelegt, die für das Portfoliomanagement und für die Bewertung (Pricing) und Absicherung (Hedging) von derivativen Finanzinstrumenten unverzichtbar sind.

Grundlagen der Mathematik (Funktionenbegriff, Mengenschreibweise, logisches Schließen), Analysis (Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Variablen), elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung (Wahrscheinlichkeitsbegriff, Erwartungswert, Varianz, Korrelation, Verteilungsfunktion, Binomial-, Poisson- und Normalverteilung, Dichte), lineare Algebra (Matrizenrechnung, Skalarprodukt)

Erweiterte Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Wahrscheinlichkeitsraum, Sigma-Algebra, Wahrscheinlichkeitsmaß, Erwartungswert, Varianz und höhere Momente einer Zufallsvariablen
• Zufallsvektoren, Verteilungsfunktionen, Varianz und Kovarianz, Kovarianzmatrix, Abhängigkeit und Unabhängigkeit
• Stochastische Prozesse (stationäre und unabhängige Zuwächse, Gauß'sche Prozesse)

Die Brownsche Bewegung

• Definition und Eigenschaften einer Brownschen Bewegung
• Pfadeigenschaften (Nicht-Differenzierbarkeit und unbeschränkte Variation)
• Abgeleitete Prozesse einer Brownschen Bewegung (Brownsche Brücke, Brownsche Bewegung mit Drift, geometrische Brownsche Bewegung)
• Zentraler Grenzwertsatz für stochastische Prozesse und Simulation von Pfaden einer Brownschen Bewegung (Überblick)

Der bedingte Erwartungswert

• Der bedingte Erwartungswert als Zufallsvariable (Definition und Eigenschaften)
• Durch Zufallsvariablen erzeugte Sigma-Algebren und Beschreibung von Information
• Rechenregeln für den bedingten Erwartungswert

Das Martingal

• Filtration und adaptierte stochastische Prozesse
• Der Begriff des Martingals
• Martingaltransformation und "faires Spiel", vorhersehbare stochastische Prozesse

Das stochastische Integral

• Erinnerung an die klassische Integralrechnung
• Das Riemann-Stieltjes-Integral und Funktionen von beschränkter Variation
• Einführung in das (stochastische) Itô-Integral und quadratische Variation der Brownschen Bewegung
• Eigenschaften des Itô-Integrals

Ergänzende Literatur
1. M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus (An Introduction to Derivative Pricing). Cambridge University Press. 1996
2. N. H. Bingham, R. Kiesel: Risk-Neutral Valuation (Pricing and Hedging of Financial Derivatives). Springer Finance. 1998
3. R. J. Elliott, P. E. Kopp: Mathematics of Financial Markets. Springer Finance. 1999
4. W. Hackenbroch: Integrationstheorie. Teubner 1987
5. A. Irle: Finanzmathematik - Die Bewertung von Derivaten. Teubner 1998
6. R. und E. Korn: Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung. Moderne Methoden der Finanzmathematik. Gabler-Vieweg 1999.
7. D. Lamberton, B. Lapeyre: Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman & Hall. 1996
8. T. Mikosch: Elementary Stochastic Calculus with Finance in View. World Scientific. 1998
9. M. Musiela, M. Rutkowski: Martingale Methods in Financial Modelling. Springer. 1997
10. L. T. Nielsen: Pricing and Hedging of Derivative Securities. Oxford University Press. 1999
11. K. Schürger: Wahrscheinlichkeitstheorie. Oldenbourg. 1998
12. D. Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press. 1993