4-stündig: Fr, 13:30-15:05, H547 (V); Fr, 15:30-17:05, H547 (Ü)

Es handelt sich um eine Einführung in die erweiterten Methoden und Werkzeuge der Wahrscheinlichkeitstheorie, die erforderlich sind, um die aktuellen zeitstetigen Finanzmarktmodelle, die in der Banken- und Versicherungspraxis im Risikomanagement und im Handel alltäglich eingesetzt werden, verstehen und anwenden zu können. Anhand einer Betrachtung konkreter Fallbeispiele aus der Praxis werden die StudentInnen direkt an die stochastische Modellierung zeitstetiger Finanzmärkte herangeführt. Besonderes Gewicht wird dabei auf die Bereitstellung der ersten wichtigsten Hilfsmittel aus der stochastischen Analysis gelegt, die für das Portfoliomanagement und die Bewertung (Pricing) und Absicherung (Hedging) von derivativen Finanzinstrumenten unverzichtbar sind.

Grundlagen der Mathematik (Funktionenbegriff, Mengenschreibweise, logisches Schließen), Analysis (Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Variablen), elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung (Wahrscheinlichkeitsbegriff, Erwartungswert, Varianz, Korrelation, Verteilungsfunktion, Binomial-, Poisson- und Normalverteilung, Dichte), lineare Algebra (Matrizenrechnung, Skalarprodukt)

Erweiterte Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Wahrscheinlichkeitsraum, Sigma-Algebra, Wahrscheinlichkeitsmaß, Erwartungswert, Varianz und höhere Momente einer Zufallsvariablen
• Zufallsvektoren, Verteilungsfunktionen, Value at Risk (V@R), Varianz und Kovarianz, Kovarianzmatrix, Abhängigkeit und Unabhängigkeit
• Stochastische Prozesse (stationäre und unabhängige Zuwächse, Gauß'sche Prozesse)

Die Brownsche Bewegung

• Definition und Eigenschaften einer Brownschen Bewegung
• Pfadeigenschaften (Nicht-Differenzierbarkeit und unbeschränkte Variation)
• Abgeleitete Prozesse einer Brownschen Bewegung (Brownsche Brücke, Brownsche Bewegung mit Drift, geometrische Brownsche Bewegung)
• Zentraler Grenzwertsatz für stochastische Prozesse und Simulation von Pfaden einer Brownschen Bewegung (Überblick)

Der bedingte Erwartungswert

• Der bedingte Erwartungswert als Zufallsvariable (Definition und Eigenschaften)
• Durch Zufallsvariablen erzeugte Sigma-Algebren und Beschreibung von Information
• Rechenregeln für den bedingten Erwartungswert

Das Martingal

• Filtrierung und adaptierte stochastische Prozesse
• Stoppzeiten
• Der Begriff des Martingals
• Martingaltransformation und "faires Spiel", vorhersehbare stochastische Prozesse

Das stochastische Integral

• Erinnerung an die klassische Integralrechnung
• Das Riemann-Stieltjes-Integral und Funktionen von beschränkter Variation
• Einführung in das (stochastische) Itô-Integral und quadratische Variation der Brownschen Bewegung
• Eigenschaften des Itô-Integrals

Ergänzende Literatur
1. M. Baxter and A. Rennie: Financial Calculus - An Introduction to Derivative Pricing. Cambridge University Press. 1996
2. N. H. Bingham and R. Kiesel: Risk-Neutral Valuation - Pricing and Hedging of Financial Derivatives. Springer Finance. 1998
3. R. J. Elliott and P. E. Kopp: Mathematics of Financial Markets. Springer Finance. 1999
4. H. Föllmer and A. Schied: Stochastic Finance - An Introduction in Discrete Time. Gruyter. 2002
5. W. Hackenbroch: Integrationstheorie. Teubner. 1987
6. A. Irle: Finanzmathematik - Die Bewertung von Derivaten. Teubner. 1998
7. F. C. Klebaner: Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press - World Scientific. 1999
8. R. und E. Korn: Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung - Moderne Methoden der Finanzmathematik. Gabler-Vieweg. 1999
9. D. Lamberton and B. Lapeyre: Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman & Hall. 1996
10. T. Mikosch: Elementary Stochastic Calculus with Finance in View. World Scientific. 1998
11. M. Musiela and M. Rutkowski: Martingale Methods in Financial Modelling. Springer. 1997
12. L. T. Nielsen: Pricing and Hedging of Derivative Securities. Oxford University Press. 1999
13. K. Schürger: Wahrscheinlichkeitstheorie. Oldenbourg. 1998
14. J. M. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer. 2001
15. D. Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press. 1993